Espace topologique

La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage.

Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont suffisamment générales pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques ; ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques.

La topologie générale ne tente pas d'élucider la question très complexe de la « composition du continu » : elle part d'une approche axiomatique, en utilisant le vocabulaire de la théorie des ensembles ; autrement dit, elle suit une approche fondée sur la notion de structure (en l'occurrence, ici, une structure topologique), en faisant usage d'une axiomatique ensembliste. Les axiomes sont minimaux, et en ce sens, c'est la structure la plus générale pour étudier les concepts cités.

La topologie générale définit le vocabulaire fondamental, mais permet aussi la démonstration de résultats non triviaux et puissants, tels que le théorème de Baire. Elle possède deux prolongements importants, permettant une analyse plus approfondie encore de la notion générale de « forme » : la topologie différentielle, généralisant les outils de l'analyse classique ( dérivée, champs de vecteurs, etc.), et la topologie algébrique, introduisant des invariants calculables tels que les groupes d'homologie.

Cet article est technique ; une vision générale et historique est ébauchée dans l'article «  Topologie ».

Historique

La naissance de la topologie est directement liée à l'étude de nombres réels. Un premier signe fut certainement la définition de la notion de point d'accumulation par Weierstrass vers 1860 (qui démontra que tout ensemble de nombres réels infini borné admet au moins un point d'accumulation, résultat admis auparavant).

Ce point de vue un peu étroit tomba ensuite en désuétude. Ce n'est qu'en 1906, à force d'étudier des ensembles de plus en plus abstraits, qu'apparut la notion de distance, introduite par Fréchet. La notion d'espace topologique général ne naquit qu'en 1914 grâce à Hausdorff qui définit la notion de voisinage.

Le développement des espaces vectoriels normés (en particulier de dimensions infinies) est d'abord dû à Hilbert; Banach compléta largement cette théorie dans les années 1930.

La notion d'ensemble compact, en germe dès 1900, se développa avec Borel et Lebesgue grâce aux considérations liées à la théorie de la mesure. [1]

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