Espace topologique

La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage.

Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont suffisamment générales pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques ; ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques.

La topologie générale ne tente pas d'élucider la question très complexe de la « composition du continu » : elle part d'une approche axiomatique, en utilisant le vocabulaire de la théorie des ensembles ; autrement dit, elle suit une approche fondée sur la notion de structure (en l'occurrence, ici, une structure topologique), en faisant usage d'une axiomatique ensembliste. Les axiomes sont minimaux, et en ce sens, c'est la structure la plus générale pour étudier les concepts cités.

La topologie générale définit le vocabulaire fondamental, mais permet aussi la démonstration de résultats non triviaux et puissants, tels que le théorème de Baire. Elle possède deux prolongements importants, permettant une analyse plus approfondie encore de la notion générale de « forme » : la topologie différentielle, généralisant les outils de l'analyse classique (dérivée, champs de vecteurs, etc.) et la topologie algébrique, introduisant des invariants (en) calculables tels que les groupes d'homologie.

Cet article est technique ; une vision générale et historique est ébauchée dans l'article « Topologie ».

Définitions

Deux définitions équivalentes sont souvent données : la définition par les ouverts, et la définition par les voisinages d'un point. La première est plus ramassée, la seconde souvent plus intuitive. Le passage d'une définition à l'autre est direct.

Définition par les ouverts

Un espace topologique est un couple (E, T), où E est un ensemble et T une topologie sur E, à savoir un ensemble de parties de E — que l'on appelle les ouverts de (E, T) — vérifiant les propriétés suivantes :

  1. l'ensemble vide et E appartiennent à T[1] ;
  2. toute réunion quelconque d'ouverts est un ouvert, c'est-à-dire que si (Oi)iI est une famille d'éléments de T, indexée par un ensemble I quelconque (pas nécessairement fini, ni même dénombrable) alors
     ;
  3. toute intersection finie d'ouverts est un ouvert, c'est-à-dire que si O1, … , On sont des éléments de T alors

Un fermé d'une topologie est défini comme le complémentaire d'un ouvert.

L'adhérence X d'une partie X de E est le plus petit fermé qui contient X.

Pour un point a de E, on appelle alors voisinage de a pour cette topologie n'importe quelle partie de E qui inclut un ouvert qui contient a.

Définition par les fermés

Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles qu'une topologie sur E peut aussi être définie par l'ensemble de ses fermés, cet ensemble de parties de E devant vérifier :

  1. les ensembles E et vide sont des fermés ;
  2. toute intersection quelconque de fermés est un fermé ;
  3. toute réunion finie de fermés est un fermé.

Définition par les adhérences

Dans un espace topologique, les adhérences vérifient les propriétés :

Inversement, étant donné un ensemble E, toute application — : P(E)P(E) qui vérifie ces quatre propriétés (appelées axiomes de fermeture de Kuratowski) permet de définir sur E une topologie dont — est l'application adhérence[2], en décrétant que les fermés de cette topologie sont les X tels que X = X.

En effet, les axiomes 1 et 3 sont alors trivialement satisfaits, et l'axiome 2 l'est aussi car l'application — est un opérateur de préclôture donc croissant, ce qui permet de montrer que l'intersection X de toute famille de fermés Xi est fermée : pour tout i, de XXi on déduit XXi = Xi, d'où l'inclusion de X dans X et donc l'égalité. Ainsi, on a défini une topologie, dont — est bien l'application adhérence (d'après la croissance et le deuxième axiome de Kuratowski).

Par ailleurs, les axiomes de fermeture de Kuratowski sont équivalents à[3],[4] :

.

Via la bijection canonique entre applications de P(E) dans P(E) et relations de E dans P(E), définir une topologie par une application adhérence revient donc à se donner une relation « adhère à » entre les points de E et ses parties, telle que, pour tout a de E et toutes parties X, Y de E,

  1. aucun élément de E n'adhère à l'ensemble vide,
  2. tout élément de X adhère à X,
  3. si a adhère à XY alors a adhère à X ou à Y,
  4. si a adhère à X et si tout élément de X adhère à Y, alors a adhère à Y.

Définition par les voisinages

Un espace topologique est un couple , où E est un ensemble et une application de E vers l'ensemble P(E)) obéissant aux cinq conditions ci-après[5], dans lesquelles les éléments de , pour aE, sont appelés « voisinages de a », la justification de cette appellation venant juste après cette liste.

Pour tout point a de E :

  1. tout sur-ensemble d'un voisinage de a est lui-même voisinage de a ;
  2. l'intersection de deux voisinages de a est elle-même un voisinage de a ;
  3. E est un voisinage de a ;
  4. tout voisinage de a contient a ;
  5. pour tout voisinage V de a, il existe un voisinage W de a tel que V soit voisinage de chacun des points de W[6].

Il existe alors une et une seule topologie sur E (au sens de la définition ci-dessus par les ouverts) telle que pour tout point a de E, soit égal à l'ensemble des voisinages de a pour cette topologie, c'est-à-dire à l'ensemble des parties de E incluant un ouvert qui contient a.

Les ouverts de cette topologie sont les parties O de E telles que pour tout point a de O, O appartienne à

La plupart des notions de topologie, comme la continuité ou la limite, peuvent se définir de manière équivalente et aussi élégante par les ouverts, par les fermés ou par les voisinages.

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