Espace métrique

En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière.

L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l' espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant.

La classe d' isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d' homéomorphie. Par exemple, un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique ; ce qui n'a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle.

Définitions

  • On appelle (E, d) un espace métrique si E est un ensemble et d une distance sur E.
  • On appelle distance sur un ensemble E, une application d de E2 dans ℝ+ telle que, pour tout x, y, z de E :
    • (symétrie) ;
    • (séparation) ;
    • ( inégalité triangulaire).
  • On appelle boule ouverte (resp. fermée) centrée en un point a de E et de rayon r (un élément de ℝ+), l'ensemble des points x situés à une distance de a strictement plus petite que r (resp. inférieure ou égale à r) :
  • On définit la topologie induite par la distance d sur E comme la topologie dont une base d' ouverts est l'ensemble des boules ouvertes. Les boules ouvertes centrées en un point x constituent alors une base de voisinages de x [1].
  • Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie. La topologie usuelle sur la droite réelle, sur le plan, etc. sont des exemples de topologies métrisables. Les notions de boule, de partie bornée, de suite de Cauchy, de continuité uniforme, etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques, susceptibles de varier selon la distance choisie.
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