Espace localement annelé

Le concept d'espace localement annelé est commun à différents domaines de géométrie, mais est plus utilisé en géométrie algébrique et en géométrie analytique complexe.

Définition

Un espace localement annelé est un espace topologique X muni d'un faisceau d' anneaux commutatifs OX, appelé faisceau structural, tel qu'en tout point, l'anneau des germes de OX soit un anneau local.

Si A est un anneau (commutatif unitaire), un espace localement annelé dont le faisceau structural est un faisceau de A-algèbres est appelé un espace localement annelé sur A.

Exemples

Un sous-espace ouvert de est une partie ouverte munie du faisceau d'anneaux . Le couple est un espace localement annelé.

Corps résiduel

Soit un point de . Soit l'idéal maximal de l'anneau local . Le quotient est le corps résiduel de en . Si est un voisinage ouvert de , alors et ont le même corps résiduel en .

Par exemple, Si est une variété algébrique, alors appartient à un voisinage ouvert affine . Le point correspond à un idéal maximal de , et le corps résiduel est égal à .

Pour les variétés complexes (resp. différentielles), les corps résiduels sont tous égaux à ℂ (resp. ℝ).