Entier naturel

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En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents : un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule).

Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie [1].

La définition originelle, due à Richard Dedekind [2], de l'ensemble des entiers naturels exclut le nombre zéro [3]; plus récemment une autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui [4]. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc :

  • 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …

ou

  • 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …

L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d' addition et de multiplication notamment, constitue dès l' Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée «  arithmétique ».

La structure des entiers naturels a été axiomatisée pour la première fois par Peano et Dedekind à la fin du XIXe siècle. À cette époque zéro n'était pas considéré comme un entier naturel (et certains auteurs font encore ce choix), ce qui ne change pas fondamentalement l'axiomatisation. Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus souvent une méthode due à von Neumann).

L'ensemble des entiers naturels, qu'il contienne ou non le nombre zéro, est noté « N » ou « ℕ ». La notation est due à Dedekind en 1888, qui l'utilise pour l'ensemble des entiers naturels non nuls. Aujourd'hui ce dernier ensemble est également couramment noté « N* » (ou « ℕ* »).

Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs ou nuls, ainsi qu'aux nombres rationnels positifs ou nuls pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1, et d'une manière plus générale aux réels positifs ou nuls de partie fractionnaire nulle.

Les entiers naturels permettent de compter (une pomme, deux pommes, trois pommes…).

Conception

De l'énumération à l'abstraction

La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'au XVIIe siècle [5]) toute l'idée [6] de nombre, est probablement issue de la notion de collection : le nombre entier est avant tout conçu comme un cardinal. Certains objets ou animaux, tout en étant distincts les uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur rassemblement constitue une collection, tel un troupeau de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.

Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité.

Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de son représentant, c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache : il y a là une première abstraction où chaque objet est considéré comme une unité pure et sans qualité. Ce processus mental est connu sous le nom d' abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Une seconde abstraction mène alors à la considération de ces unités comme une collection d'unités [7].

Euclide donne au Livre VII des Éléments la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme « collection d'unités [8] ».

Représentation des premiers entiers naturels non nuls par des collections de points.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Article connexe : Nombre figuré.

Définition avortée des entiers en termes de classe de bijectabilité

Frege a songé ( Fondements de l'arithmétique, 1884) à définir les entiers en termes de classe de bijectabilité.

Cette idée consiste à définir chaque entier n comme le rassemblement de tous les ensembles ayant n éléments.

Cette, très séduisante définition, se heurte au paradoxe de Russell si l'on souhaite, en vu d'un monisme ontologique, qu'un tel rassemblement soit, aussi, un ensemble.

Ceci car, sauf pour l'entier 0, identifié à l'ensemble vide, pour tout autre entier n le rassemblement des ensembles ayant n éléments est une classe stricte et donc n'est pas un ensemble.

Construction par les ordinaux

Article détaillé : Construction des entiers naturels.

Les entiers naturels peuvent être définis comme des ordinaux, c'est-à-dire, par la méthode de von Neumann, comme des ensembles bien ordonnés tous comparables par inclusion. Les entiers naturels sont les ordinaux finis, ceux dont l'ordre réciproque est aussi un bon ordre, ou encore les ordinaux successeurs dont tous les minorants sont aussi des ordinaux successeurs.

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