Entier naturel

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En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents : un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule).

Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie[1].

La définition originelle, due à Richard Dedekind[2], de l'ensemble des entiers naturels exclut le nombre zéro[3]; plus récemment une autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui[4]. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc :

  • 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …

ou

  • 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …

L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition et de multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée « arithmétique ».

La structure des entiers naturels a été axiomatisée pour la première fois par Peano et Dedekind à la fin du XIXe siècle. À cette époque zéro n'était pas considéré comme un entier naturel (et certains auteurs font encore ce choix), ce qui ne change pas fondamentalement l'axiomatisation. Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus souvent une méthode due à von Neumann).

L'ensemble des entiers naturels, qu'il contienne ou non le nombre zéro, est noté « N » ou « ℕ ». La notation est due à Dedekind en 1888, qui l'utilise pour l'ensemble des entiers naturels non nuls. Aujourd'hui ce dernier ensemble est également couramment noté « N* » (ou « ℕ* »).

Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs ou nuls, ainsi qu'aux nombres rationnels positifs ou nuls pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1, et d'une manière plus générale aux réels positifs ou nuls de partie fractionnaire nulle.

Les entiers naturels permettent de compter (une pomme, deux pommes, trois pommes…).
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