Ensemble

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Un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout » (au sens d' omnis).

Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l' appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble). Le mot ensemble désigne alors un objet du domaine de cette théorie, dont les axiomes régissent les propriétés. La théorie des ensembles est utilisée pour fonder les mathématiques, et dans cette approche tout objet mathématique est in fine un ensemble.

Mais la notion d'ensemble est aussi une notion de base qui intervient dans à peu près tous les domaines des mathématiques.

Origines

La formulation en reviendrait au mathématicien Georg Cantor, qui énonçait : « Par ensemble, nous entendons toute collection M d'objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M » [trad 1], [1]. Ceci était particulièrement novateur, s'agissant d'ensembles éventuellement infinis (ce sont ces derniers qui intéressaient Cantor).

Ce qui est en jeu au premier chef dans la notion d'ensemble, c'est la relation d’appartenance : un élément appartient à un ensemble. Ce sont les propriétés de cette relation que Zermelo, puis d'autres, ont axiomatisées en théorie des ensembles. Il est assez remarquable que l'on puisse s'en contenter pour une théorie qui peut potentiellement formaliser les mathématiques. Mais ce n'était pas l'intention de Cantor, et il n'avait pas non plus axiomatisé sa théorie.

L'objet de cet article est de donner une approche intuitive de la notion d'ensemble, telle qu'elle est indiquée dans l'article théorie naïve des ensembles.