Dernier théorème de Fermat

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Page 61 de la réédition de 1670 par le fils de Pierre de Fermat du Diophante de Bachet, augmenté des annotations de son père. L'énoncé du théorème (en latin) apparaît sous le titre « OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT », à la suite de la question VIII.

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme suit :

Théorème [1] — Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :

xn + yn = zn,

dès que n est un entier strictement supérieur à 2.

Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de Diophante, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994. C'est surtout par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il a pris une valeur considérable.

Contexte

Dans le cas où n = 1, l'équation xn + yn = zn correspond à l' addition usuelle.

Dans le cas où n = 2, cette équation a encore une infinité de solutions non nulles, les triplets pythagoriciens, dont le plus petit est (3, 4, 5) : 32 + 42 = 52.

Le théorème de Fermat-Wiles établit que pour n > 2, cette équation n'a pas de solution en entiers non nuls (les autres solutions, de la forme xn + 0n = xn, sont souvent appelées solutions triviales).

Si l'équation n'a pas de solution (en entiers non nuls) pour un exposant n donné, elle n'en a pour aucun des multiples de n (xkn = (xk)n) et donc il suffit pour démontrer le théorème général, de le démontrer pour n premier et pour n = 4 [2].

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