Courbe elliptique

Une sélection de courbes cubiques réelles définies par l'équation y2 = x3 + a x + b. La région montrée est [–3, 3]2. La courbe pour a = b = 0 n'est pas elliptique.

En mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points.

Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants.

Contrairement à ce que son nom pourrait laisser croire, l'ellipse n'est pas une courbe elliptique. Le nom des courbes elliptiques vient historiquement de leur association avec les intégrales elliptiques, elles-mêmes appelées ainsi car elles servent en particulier à calculer la longueur d'arcs d'ellipses.

À l'aide d'un choix adapté de coordonnées, une courbe elliptique peut être représentée dans un plan par une équation cubique de la forme :

Les coefficients a1, a2, a3, a4 et a6 sont des éléments du corps K sur lequel est définie la courbe, mais ils ne sont pas déterminés par la courbe de manière unique. D'autre part, pour qu'une telle équation décrive effectivement une courbe elliptique, il faut que la courbe ainsi définie ne soit pas singulière, c’est-à-dire qu'elle n'ait ni point de rebroussement, ni point double.

Les points de la courbe sur un corps K' (contenant K) ont pour coordonnées les solutions (x, y) dans K' de l'équation ; on y joint un point à l'infini (l'élément zéro de l'addition). On note cet ensemble de points E(K').

Formellement, une courbe elliptique est une courbe algébrique projective non singulière de genre 1 sur un corps K et dont un point à coordonnées dans K est spécifié[1].

Même si certaines constructions ou certaines propriétés comme l'addition des points sont communes à toutes, la description des courbes elliptiques, ainsi que leurs applications possibles, dépend beaucoup du corps de définition choisi.

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