Couple (mathématiques)

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En mathématiques, un couple de deux objets est la donnée de ces deux objets dans un ordre déterminé. Le couple des deux objets a et b est noté (a, b). Si a et b sont distincts, le couple (a, b) est distinct du couple (b, a) ; en cela, la notion de couple se distingue de la notion de paire. Pour désigner un couple, les anglophones emploient d'ailleurs ordered pair, c’est-à-dire paire ordonnée.

Notion de couple

Les objets a et b sont appelés respectivement première composante et deuxième composante du couple ( a, b ).

Propriété caractéristique

D'abord introduite comme une notion primitive, l'essence de la notion de couple réside dans la propriété caractéristique suivante :

Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières composantes d'une part, et leurs secondes composantes d'autre part, sont égales entre elles.

En d'autres termes, quels que soient a1, a2, b1, b2, on a :

(a1, a2) = (b1, b2) si et seulement si a1 = b1 et a2 = b2.

Cette propriété est à comparer avec l'égalité des paires, pour lesquelles b1 et b2 peuvent être permutés par rapport à a1 et a2, ce qui n'est pas le cas pour les couples.

Ceci est confirmé par le corollaire suivant :

Les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques.
ce que l'on peut exprimer plus formellement par :
( a, b ) = ( b, a ) si et seulement si a = b.

Par conséquent:

  • pour un couple ( a, b ) : ba ⇒ ( b, a ) ≠ ( a, b )
  • pour une paire { a, b } : { b, a } = { a, b } [1]

L'ordre des composantes dans un couple a ainsi de l'importance, d'où la définition :

Si a est différent de b, le couple ( b, a ) est appelé couple symétrique ou encore couple réciproque du couple ( a, b ).

Produit cartésien

L'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à un ensemble quelconque X et la seconde à un ensemble quelconque Y est appelé produit cartésien de ces deux ensembles et se note X×Y. Les sous-ensembles de X×Y sont des graphes.

Exemples

  • ( 1 , 4 ) et ( 4 , 4 ) sont des couples d'entiers.
  • Si E = { 1 , 2 , 3 } alors ( { 1 }, { 1 , 3 } ) et ( Ø, { 1 } ) sont des couples de parties de E.
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