Corps valué

En mathématiques, un corps valué est un corps K muni d'une valeur absolue [1]. Celle-ci détermine sur K une structure d' espace métrique définie par la distance invariante , et K, muni de la topologie métrisable ainsi définie, est un corps topologique.

Par exemple, toute valuation à valeurs réelles sur K permet de définir une valeur absolue sur K (la réciproque n'est vraie que pour les valeurs absolues ultramétriques [2]).

La topologie d'un corps valué est discrète si, et seulement si la valeur absolue est triviale, c'est-à-dire issue de la valuation triviale [3].

L' anneau complété d'un corps valué est un corps valué [1].

Notes et références

  1. a et b Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [ détail des éditions] (chap. IX, §3, p. 28-31).
  2. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [ détail des éditions] p. 36, qui mentionne de plus une caractérisation des valeurs absolues non ultramétriques.
  3. Remarque : tout espace vectoriel à gauche sur un corps valué discret est un espace vectoriel topologique pour la topologie discrète ; il n'en est pas ainsi pour un espace vectoriel non nul sur un corps valué non discret.
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