Corps commutatif

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En mathématiques, un corps commutatif est une des structures algébriques fondamentales de l' algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.

Des exemples élémentaires de corps commutatifs sont le corps des nombres rationnels noté ℚ (ou Q), le corps des nombres réels noté ℝ (ou R), le corps des nombres complexes noté ℂ (ou C) et le corps ℤ/p des classes de congruences modulo pp est un nombre premier, noté alors également 𝔽p (ou Fp).

La théorie des corps commutatifs est le cadre historique de la théorie de Galois, une méthode d'étude qui s'applique en particulier aux corps commutatifs et aux extensions de corps, en relation avec la théorie des groupes, mais s'étend aussi à d'autres domaines, par exemple l'étude des équations différentielles ( théorie de Galois différentielle), ou des revêtements.

Fragments d'histoire

La théorie des corps (commutatifs) se développe tout au long du XIXe siècle, en parallèle et de façon intimement liée avec la théorie des groupes, la théorie des anneaux et l' algèbre linéaire. Jusqu'à cette époque, l'algèbre s'identifie à la théorie des équations polynomiales et de leur résolution. C'est dans ce contexte qu'apparaissent les premières notions de théorie des corps, avec les travaux de Niels Abel et ceux d' Évariste Galois, même si la structure n'est pas identifiée explicitement. Galois est le premier à parler d' adjonction (pour des éléments algébriques) et démontre le théorème de l'élément primitif [1].

Avec la naissance de l'étude des nombres algébriques, motivée par des problèmes de nature arithmétique, il est devenu nécessaire de préciser explicitement la structure de corps, en parallèle avec les notions d' entier algébrique, et d' anneau. C'est dans ce contexte que la structure de corps est introduite indépendamment (et de façons assez différentes) par Richard Dedekind et Leopold Kronecker [2]. Le vocabulaire actuel vient de Dedekind, qui définit un corps (Körper en allemand, c'est la raison pour laquelle un corps quelconque est souvent nommé K) [3] comme un sous-ensemble de nombres réels ou complexes stable par addition, soustraction, multiplication et division.

Par ailleurs, Gauss avait étudié les congruences sur les entiers dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801, et étudié en détail le cas premier, ce qui revient implicitement à l'étude des corps finis premiers. En 1830, s'inspirant de Gauss, Galois avait étendu cette étude aux corps finis quelconques [4], les éléments de ceux-ci étant vus comme des expressions polynomiales finies traitées comme des nombres (le calcul se faisant modulo un polynôme irréductible) [5]. E. H. Moore montre en 1893 [6] qu'un corps commutatif fini, qu'il voit comme un ensemble de symboles de cardinal fini s, muni des quatre opérations « sujettes aux identités ordinaires de l'algèbre abstraite » peut se définir à la façon de Galois [5].

La même année, Heinrich Weber donne la première véritable axiomatisation des corps (commutatifs) [7], dans un article dont le but est de donner une présentation générale de la théorie de Galois. L'axiomatisation des théories mathématiques en est encore à ses balbutiements et Weber oublie (mais bien sûr utilise) l'associativité de la multiplication [8].

En 1910, Ernst Steinitz établit la théorie axiomatique des corps, dans un mémoire fondateur de l'algèbre moderne [9].

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