Continuité (mathématiques)

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En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).

La continuité est associée à la notion de continuum dont l'origine est géométrique. Dans un continuum géométrique, comme le plan ou l'espace, un point peut se déplacer continument pour s'approcher à une précision arbitraire d'un autre point. La notion de continuité est définie de manière rigoureuse en mathématiques.

Le premier exemple de fonctions continues concerne des fonctions réelles définies sur un intervalle et dont le graphe peut se tracer sans lever le crayon. Cette première approche donne une idée de la notion (la fonction ne saute pas) mais n'est pas suffisante pour la définir, d'autant plus que certains graphes de fonctions pourtant continues ne peuvent pas se tracer de cette manière, telles par exemple des courbes ayant des propriétés fractales comme l' escalier de Cantor.

Historiquement définie pour des fonctions de la variable réelle, la notion de continuité se généralise à des fonctions entre espaces métriques ou entre espaces topologiques, sous une forme locale et sous une forme globale.

L'étude des fonctions continues se révèle fructueuse pour les propriétés qu'elles possèdent (propriété de convergence au sens où « lim(f(x)) = f(lim(x)) », théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes, intégrabilité…).

Définition pour les fonctions réelles

Définition —  Soient I un intervalle réel, une fonction définie sur I à valeurs réelles et .

La fonction f est dite continue en a si :

Exemple d'une fonction continue sur un intervalle
Exemple d'une fonction non continue en 2 :

ƒ n'est pas continue à gauche en 2.

f est continue à droite en 2.

Ainsi f(a)). (De même que dans la définition formelle de la limite, on obtient une définition équivalente [1] lorsqu'on remplace par ou par .)

Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour de a tel que f(x) soit à une distance inférieure à ε de f(a).

  • Si la continuité est valable uniquement à droite (pour x > a), on dit que f est continue à droite en a. De même à gauche pour a.
    Dire que f est continue en a revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en a.
  • La fonction f est dite continue (sur I) si elle est continue en tout point a de I.
    Une fonction qui présente des « sauts » est discontinue. La notion de saut est illustrée sur la figure ci-contre, elle correspond à l'existence d'une limite à droite et d'une limite à gauche qui n'ont pas toutes les deux la même valeur que f(a).

Commentaire

C'est l'idée du seuil ε fixé à l'avance qui est importante. Cette définition est le fruit des efforts des mathématiciens du XIXe siècle pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité. En analyse non standard, une approche plus intuitive est possible : on dira que f est continue en a si f(x) – f(a) est infiniment petit quand x – a est infiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniment petits et cette définition ne s'applique qu'aux fonctions dites standards.

La définition globale de la continuité dans le cadre des espaces topologiques (voir plus bas) permet elle aussi de s'affranchir des ε, mais ceci au prix du formalisme de la topologie générale.

Exemples

Propriétés

La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles

  • est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la forme f(x) = m (voir théorème des valeurs intermédiaires) ;
  • simplifie le calcul de limites car .

La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Les propriétés de stabilité de la continuité par combinaison linéaire (i.e. pour tous α, β réels et f, g fonctions réelles continues, la fonction αf + βg est continue) et par produit de deux fonctions font de l'ensemble des fonctions continues une algèbre sur le corps des réels.

Des erreurs à éviter

  • Une fonction dérivable en un point est continue en ce point mais la réciproque est fausse. Par exemple les fonctions racine carrée et valeur absolue sont continues en 0 mais non dérivables en ce point (voir l'article «  Dérivabilité »).
  • Des fonctions telles que f : x ↦ 1/x ou tan(x) sont bel et bien continues. L'erreur consistant à dire que f n'est pas continue en 0 est renforcée par l'absence de précision sur son domaine de définition : la continuité en un point situé hors du domaine de définition n'a pas de sens. Dans le cas de f, tant qu'une valeur n'est pas précisée pour f(0), on doit supposer que le domaine de définition considéré est ℝ*. Ainsi, dire que f est ou n'est pas continue en 0 n'a aucun sens ; on peut seulement dire qu'elle n'est pas prolongeable par continuité en une fonction continue en 0.
  • Dans l'histoire, la continuité d'une fonction était pensée comme « ne pouvant pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires » (propriété souvent appelée PVI pour « propriété des valeurs intermédiaires ») mais on sait aujourd'hui qu'il n'y a pas équivalence entre les deux : la fonction f : x ↦ sin(1/x) prolongée par 1 en 0 vérifie bien la propriété des valeurs intermédiaires et est pourtant discontinue en zéro.
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