Clothoïde

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Représentation partielle de la clothoïde unitaire, montrée ici avec les points limites asymptotiques et un nombre limité de spires. La courbe complète s'approche indéfiniment des points asymptotiques, marqués au centre des spires, mais après un parcours de longueur infinie qu'il n'est pas possible de représenter. En prolongeant le tracé de la courbe, ces spires deviennent quasi-circulaires et sont de plus en plus proches des points asymptotiques.

La clothoïde est une courbe plane caractérisée par la propriété que sa courbure en un point est proportionnelle à l'abscisse curviligne du point.

Cette courbe est étudiée d'abord en 1705 par Jacques Bernoulli pour mathématiser ses résultats sur les déformations d'une lamelle élastique. Bernoulli ne parvient pas à obtenir une équation de la courbe et son idée de sa forme générale est assez vague. À sa suite, Leonhard Euler reprend l'étude de la courbe ; il en précise les principales propriétés ; toutefois, il ne parviendra à la caractériser complètement qu'après de nombreuses années de travail. Ces travaux sont oubliés et, au xixe siècle plusieurs savants la redécouvrent comme solution à des problèmes divers.

Étymologie, historique et dénominations de la courbe

Étymologie

Le nom de clothoïde a été attribué à cette courbe par le mathématicien italien Ernesto Cesàro en 1886[1]. Bien que le terme « clothoïde » soit généralement compris, on appelle plus couramment cette courbe Euler Spiral (en) en anglais, Spinnkurve (de) en allemand, et spirale de Cornu en français.

Le mot clothoïde vient du grec κλοθειν / klothein : « filer (la laine) ». La même racine apparaît dans le nom de Clotho, celle des trois Parques qui tient le fil des destinées humaines. Cette appellation évoque métaphoriquement le fil de laine qui s'enroule indéfiniment autour du fuseau.

Historique

Cette courbe apparaît d'abord en 1694 comme solution des études de Jacques Bernoulli[2] sur la forme prise par une lamelle élastique fixée d'un côté horizontalement et soumise de l'autre côté à un poids vertical. Bernoulli donne une description générale de la courbe, qu'il ne parvient pas à expliciter, et il suppose, de façon empirique et inexacte, qu'il s'agit d'un arc de parabole.

Leonhard Euler, à qui Bernoulli a décrit le problème, caractérise la courbe en 1744. Il en donne, moyennant des simplifications, une équation liant l'abscisse curviligne le long de la courbe à son rayon de courbure. Euler établit la quadrature de cette l'équation ; il parvient même à en donner une formulation polynomiale, ce qui permet enfin d'en calculer des approximations numériques. Par la suite, il en établit la forme complète et, en 1781, il calcule la position des deux « centres » de la spirale. Cette courbe prend le nom de spirale d'Euler, oubliant la contribution initiale de Bernoulli.

Plus tard, vers 1848, Augustin Fresnel, s'efforçant de démontrer expérimentalement la nature ondulatoire de la lumière, étudie la forme que doivent avoir les franges de diffraction d'une source de lumière monochromatique au travers d'une fente rectiligne. Se fondant sur les équations de propagation des fronts d'onde, il en établit partiellement les équations cartésiennes sous forme de deux intégrales. La solution ainsi obtenue décrit une double spirale antisymétrique des centres desquelles il calcule la position.

Peu après la publication des travaux de Fresnel, le physicien Alfred Cornu parvient à donner la forme complète des équations et à dessiner la courbe de Fresnel avec une excellente approximation numérique. L'équivalence des équations de Fresnel et de la spirale de Cornu avec les équations et la spirale d'Euler ne sera relevée que bien plus tard et Fresnel reconnaîtra la paternité de la découverte d'Euler. Henri Poincaré, au décès de Cornu en 1902, rendra pourtant célèbre l'expression « spirale de Cornu » (en parlant de la forme des franges de diffraction de Fresnel) pour désigner la courbe.

Dès 1886, le mathématicien italien Ernesto Cesàro donne à cette courbe, dans ses travaux, le nom de clothoïde, en référence à Clotho (Kλωθω´ en grec), la plus jeune des trois Parques dans la mythologie grecque. Clotho est la fileuse du temps et de la vie ; ce fil, de façon infinie, se déroule de sa source pour venir s'enrouler de l'autre côté autour d'un point final jamais atteint mais sans cesse approché.

Si les noms de Bernoulli, Euler, Fresnel, Cornu, Cesàro ne suffisaient pas, il faudrait y ajouter celui de l'ingénieur américain Arthur Talbot qui établit, en 1890, la courbe de transition que doit avoir une voie de chemin de fer en ligne droite abordant un virage en arc de cercle afin de minimiser les chocs latéraux dus à la variation de l'accélération centrifuge. Ces chocs rendent les voyages inconfortables, mettent à mal le fret et endommagent le matériel roulant et la voie. Talbot résolut ce problème d'ingénierie pour obtenir la même solution que celle établie par Bernoulli/Euler (dans l'étude des déformations de lames élastiques), et par Fresnel/Cornu (dans l'étude des formes des franges d'interférence de la lumière). Sa solution, aussi appelée spirale de Talbot, est identique aux résultats de Bernoulli, Euler et Fresnel.

C'est le nom de « clothoïde » qui est aujourd'hui le plus usité en domaine francophone. En domaine anglophone, on utilise généralement le nom de « spirale d'Euler ».

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