Analyse fractionnaire

En mathématiques, l'analyse fractionnaire est une branche de l' analyse qui étudie la possibilité qu'un opérateur différentiel puisse être élevé à un ordre non entier.

On peut définir par ce procédé des dérivées ou des intégrales fractionnaires. Ces dérivées ou intégrations fractionnaires rentrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels.

Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l' électromagnétisme, l' acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie fractale ».

Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement

la racine carrée de l'opérateur de dérivation, c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir

pour des valeurs réelles de α, de telle sorte que lorsque α prend une valeur entière n, on récupère la dérivation n-ième usuelle pour n > 0 ou l'intégration itérée |n| fois pour n < 0. Le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre : α n'est pas nécessairement un nombre rationnel, et on devrait donc plutôt parler de dérivation non entière. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel.

Dérivée fractionnaire

En ce qui concerne l'existence d'une telle théorie, les fondations de ce sujet ont été jetées par Liouville dans un article de 1832. La dérivée fractionnaire d'ordre d'une fonction en un point est désormais souvent définie à partir de la transformée de Fourier ou de la transformée de Laplace.

Un point important est que la dérivée fractionnaire d'une fonction en un point est une propriété locale seulement lorsque l'ordre est entier ; dans les autres cas, on ne peut plus dire que la dérivée fractionnaire d'une fonction en ne dépend que du voisinage de très près de , comme c'est le cas en ce qui concerne les ordres des dérivations entiers.

Pour illustrer ceci, introduisons l'opérateur « de translation » et l'opérateur identité . La limite, lorsque tend vers 0, de l'opérateur

correspond bien à l'opérateur de dérivation au premier ordre.

Grâce à la formule du binôme généralisée, on peut alors élever cet opérateur à une puissance non entière. On obtient ainsi une série infinie :

Ce résultat met bien en évidence le caractère non local de l'opération de dérivation à un ordre non entier.