Équations de Navier-Stokes

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Stokes.
Léonard de Vinci : écoulement dans une fontaine

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent le mouvement des fluides newtoniens (donc des gaz et de la majeure partie des liquides [a]). La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase est difficile. La cohérence mathématique de ces équations non linéaires n'est pas démontrée. Mais elles permettent souvent, par une résolution approchée, de proposer une modélisation de nombreux phénomènes, comme les courants océaniques et des mouvements des masses d'air de l' atmosphère pour les météorologistes, le comportement des gratte-ciel ou des ponts sous l'action du vent pour les architectes et ingénieurs, ou encore celui des avions, trains ou voitures à grande vitesse pour leurs bureaux d'études concepteurs, mais aussi le trivial écoulement de l'eau dans un tuyau et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de divers fluides.

Ces équations sont nommées ainsi pour honorer les travaux de deux scientifiques du e siècle : le mathématicien et ingénieur des Ponts Henri Navier, qui le premier a introduit la notion de viscosité dans les équations d'Euler en 1823 [1], et le physicien George Gabriel Stokes, qui a donné sa forme définitive à l'équation de conservation de la quantité de mouvement en 1845 [2], [3]. Entre temps, divers scientifiques ont contribué à l'avancement du sujet : Augustin Louis Cauchy [4] et Siméon Denis Poisson en 1829 [5] et Adhémar Barré de Saint-Venant en 1843.

Pour un gaz peu dense, il est possible de trouver une solution approchée de l’ équation de Boltzmann, décrivant le comportement statistique des particules dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. Ainsi, la méthode de Chapman-Enskog, due à Sydney Chapman et David Enskog en 1916 et 1917, permet de généraliser les équations de Navier-Stokes à un milieu comportant plusieurs espèces et de calculer l'expression des flux de masse ( équations de Stefan-Maxwell incluant l' effet Soret), de quantité de mouvement (en donnant l'expression du tenseur de pression) et d'énergie en montrant l'existence de l' effet Dufour. Cette méthode permet également de calculer les coefficients de transport à partir des potentiels d'interaction moléculaires.

La résolution mathématiquement rigoureuse des équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du prix du millénaire.

Cet article décrit diverses variantes des équations valables pour des milieux de composition homogène, les problèmes liés à la diffusion et aux réactions chimiques n'y sont pas abordés [6].

Lois de conservation

Notations et relations utilisées

On utilise les notations conformes à la norme ISO 80000-2 [7], [8]

  • est l'opérateur nabla.
  • est l'opérateur divergence.
  • Le produit dyadique de deux vecteurs s'écrit
est le produit matriciel.

où Tr représente l'opérateur trace.

Quelques identités vectorielles utiles pour cet article :

Loi de conservation

Article détaillé : Équation de conservation.

On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive entraînée à la vitesse et comportant un terme de production volumique par :

Formulation eulérienne

La formulation la plus utilisée fait appel à un référentiel fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux variables eulériennes.

On obtient les équations de Navier-Stokes en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique , à la quantité de mouvement et à l'énergie totale [9].

  • Équation de continuité (équation de bilan de la masse)
  • Équation de bilan de la quantité de mouvement
  • Équation de bilan de l'énergie

Dans ces équations :

  • représente le temps (unité SI : s) ;
  • désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg m−3) ;
  • désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m s−1) ;
  • désigne le tenseur des contraintes (ou tenseur de pression) qui, si on néglige le rayonnement, se décompose en :
  • désigne le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;
  • désigne le tenseur unité ;
  • désigne la pression thermodynamique (unité SI : Pa) ;
  • désigne la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI : m s−2) ;
  • désigne l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J kg−1) ; elle s'exprime en fonction de l' énergie interne par unité de masse e par :
  • désigne le flux de chaleur dû à la conduction thermique (unité SI : J m−2 s−1).
  • désigne le flux de chaleur dû au rayonnement (unité SI : J m−2 s−1).

Afin de clore le système, il est nécessaire de décrire p, ∑, q et qR, à partir d'hypothèses sur le fluide considéré.

Quelques variations autour du système d'équations

  • On peut exprimer différemment l'équation de quantité de mouvement en remarquant que :

L'équation alors obtenue s'interprète comme la deuxième loi de Newton, en remarquant que le terme décrit l'accéleration des particules du fluide.

  • Il est possible d'exprimer la conservation de l'énergie sous forme équivalente en transférant au premier membre le terme correspondant à la pression :
Le terme peut être remplacé par est l' enthalpie massique.
  • En multipliant scalairement l'équation de quantité de mouvement écrite comme ci-dessus par la vitesse on obtient une loi de conservation pour l'énergie cinétique :
  • En soustrayant cette équation de l'équation de conservation de l'énergie, en utilisant l'équation de conservation de la masse et l'identité
on obtient l'équation suivante sur l'énergie interne par unité de masse :

Formulation lagrangienne

Dans certains problèmes le domaine occupé par le fluide peut varier considérablement au cours du temps. Il s'agit donc de problèmes instationnaires. C'est le cas dans les problèmes d' explosion ou en astrophysique. On fait alors appel aux variables lagrangiennes définies dans le repère noté . L'accélération de la particule fluide est donnée par la dérivée particulaire :

Le dernier terme de cette équation est le terme d' advection de la quantité . Celle-ci peut être scalaire, vectorielle ou tensorielle.

Pour la quantité de mouvement la dérivée particulaire vaut :

Les équations de conservation dans le système de coordonnées définies par s'écrivent :

  • Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)
  • Équation de bilan de la quantité de mouvement
  • Équation de bilan de l'énergie


Expressions dans des systèmes de coordonnées

En utilisant l' expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions des équations.


Other Languages
Lëtzebuergesch: Navier-Stokes-Equatiounen