Équation différentielle

En mathématiques, une équation différentielle est une équation ayant pour inconnue une ou plusieurs fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de dérivation auquel l'une des fonctions inconnues a été soumise. Il existe une forme de référence à laquelle on essaie de ramener les équations différentielles par divers procédés mathématiques :

,

équation d'ordre 1 où X est la fonction inconnue, et t sa variable.

Les équations différentielles représentent un objet d'étude de toute première importance, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées. Elles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de processus d'évolution physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité, la mécanique céleste ou la dynamique des populations... La variable t représente alors souvent le temps, même si d'autres choix de modélisation sont possibles.

Les objectifs principaux de la théorie des équations différentielles sont la résolution explicite complète quand elle est possible, la résolution approchée par des procédés d' analyse numérique, ou encore l'étude qualitative des solutions. Ce dernier domaine s'est progressivement étoffé et constitue un des composants principaux d'une vaste branche des mathématiques contemporaines : l'étude des systèmes dynamiques.

Définition

Premiers exemples

Même si ce n'est pas la discipline qui a fait naître les équations différentielles, la dynamique des populations en illustre de façon simple des exemples parmi les plus accessibles. Ainsi, l'étude d'une population isolée dans un milieu produisant de la nourriture en abondance conduit au modèle suivant pour l'effectif en fonction du temps  :

,

c'est-à-dire que l'accroissement de population est, à chaque instant, proportionnel à la taille de la population . Les solutions de cette équation font apparaître un phénomène de croissance exponentielle. Cet exemple, avec les exemples les plus simples d'équations différentielles, est décrit dans l'article Équation différentielle (mathématiques élémentaires).

Les courbes d'évolution des populations pour les équations de Lotka-Volterra.

Un système plus complexe, formé de deux espèces, proie et prédateur, conduit aux équations de Lotka-Volterra

L'effectif des proies est , celui des prédateurs . On retombe sur le cas précédent si est nul. La quantité est une probabilité de rencontre, qui influe négativement sur une population (les proies), positivement sur l'autre (les prédateurs). À chaque instant, connaissant les populations en présence, on peut décrire la tendance. Ces deux équations sont couplées c'est-à-dire qu'il faut les résoudre ensemble. Mathématiquement, il faut les concevoir comme une seule équation d'inconnue le couple . Si l'effectif initial des populations est connu, l'évolution ultérieure est parfaitement déterminée. Elle se fait le long d'une des courbes d'évolution figurées ci-contre, qui laissent apparaître un comportement cyclique.

Une des plus célèbres équations différentielles est la relation fondamentale de la dynamique, de Newton : , où est la masse d'une particule, la force exercée sur celle-ci et l'accélération qui en résulte. Dans le cas d'un mouvement rectiligne, si la force subie est fonction de la position (par exemple dans le cas d'un ressort) on obtient une équation de la forme

Cette fois, pour déterminer parfaitement le mouvement, il faut se donner position et vitesse initiales.

Équation différentielle, processus d'évolution et déterminisme

Les caractéristiques d'un système régi par une équation différentielle sont les suivantes :

  • les états a priori possibles pour le système forment un espace de dimension finie, c’est-à-dire peuvent être décrits par un nombre fini de variables. Cet espace est l' espace des phases. Par exemple, pour décrire le mouvement d'une particule dans l'espace usuel, il faut trois variables. Pour le mouvement d'un solide, six sont nécessaires ;
  • les lois qui gouvernent l'évolution temporelle sont des fonctions au moins dérivables ;
  • l'évolution du système est déterministe : connaissant les conditions initiales, c'est-à-dire l'état du système au temps présent, on peut en déduire l'état du système à n'importe quel temps du futur ou du passé.

L'aspect déterministe des équations différentielles a des implications particulièrement fortes, et se concrétise mathématiquement par le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Les équations différentielles ordinaires (parfois représentées par le sigle EDO) doivent être distinguées des équations aux dérivées partielles (EDP), où y est fonction de plusieurs variables et où interviennent des dérivées partielles. Ces dernières ont un espace d'état de dimension infinie et ne sont plus nécessairement des processus d'évolution déterministes.

Définition générale

Soit E un espace vectoriel normé. Une équation différentielle (ordinaire) est une équation de la forme

F est une fonction continue sur un ouvert U de ℝ × En + 1, appelé domaine.

L'ordre de cette équation différentielle est l'ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant. Soient y une fonction de x définie d'un intervalle I dans E et y', y", …, y(n) les dérivées successives de la fonction y. Cette fonction y est dite solution si elle est de classe Cn et si

Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solutions y. Par exemple, l'équation différentielle y" + y = 0 a une solution générale de la forme : y(x) = A cos x + B sin x, où A, B sont des constantes complexes (qu'on peut déterminer si on ajoute des conditions initiales).

Dans une équation différentielle, la fonction y peut être par exemple à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie, ainsi si y a pour composantes y1 et y2 :

L'usage en physique est de parler alors de système d'équations différentielles couplées. Mais le point de vue fécond en mathématiques est de n'y voir qu'une seule équation, pour une fonction à valeurs vectorielles.

On peut encore élargir la définition, en considérant des équations différentielles sur des variétés différentielles.

Équation différentielle sous forme résolue

Une équation différentielle d'ordre n est mise sous forme résolue quand on peut exprimer la dérivée la plus forte en fonction de x et des dérivées précédentes

Réduction à 1 de l'ordre d'une équation

Une équation différentielle d'ordre n

peut se lire aussi comme une équation du premier ordre à valeurs dans En, de fonction inconnue v(x) = (y0(x), …, yn – 1(x)). L'équation se réécrit en effet, en notant y = y0 :

ou encore, en définissant f par f(x, v0, …, vn – 1, w0, …, wn – 1) = (w0v1, …, wn – 2vn – 1, F(x, v0, …, vn – 1, wn – 1)) :

Si l'équation d'ordre n était sous forme résolue

l'équation équivalente d'ordre 1 le sera aussi :

avec g(x, v0, …, vn – 1) = (v1, …, vn – 2, G(x, v0, …, vn – 1)).

De plus, dans les deux cas (forme implicite ou forme résolue), si l'équation d'ordre n était autonome, celle d'ordre 1 le sera aussi (c'est-à-dire que si F ou G ne dépend pas de la variable x alors f ou g non plus) et si l'équation était linéaire, elle le reste. Par exemple, l' équation différentielle linéaire d'ordre 2, résolue et autonome

se transforme en équation du premier ordre à valeurs dans ℝ2 : la fonction inconnue de la nouvelle équation différentielle est une fonction xv(x) = (y(x), z(x)) de ℝ dans ℝ2 et l'équation s'écrit :

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