Équation de Riccati

En mathématiques, une équation de Riccati est une équation différentielle ordinaire de la forme

, et sont trois fonctions, souvent choisies continues sur un intervalle commun à valeurs réelles ou complexes.

Elle porte ce nom en l'honneur de Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) et de son fils Vincenzo Riccati (1707-1775).

Il n'existe pas, en général, de résolution par quadrature à une telle équation, mais il existe une méthode de résolution dès que l'on en connaît une solution particulière.

Aspect historique

En 1720, Francesco Riccati présente à son ami, Giovanni Rizzetti, deux équations différentielles qu'il cherche à résoudre :

  • a, b et c sont des constantes réelles ;
  • a, b et m sont des constantes réelles.

La première équation est issue de l'étude d'un mouvement plan vérifiant l'équation différentielle linéaire suivante :

x et y sont les coordonnées d'un point M en mouvement.

En s'intéressant à la pente z de la droite (OM), il prouve que z doit vérifier une équation du type (1), d'où son désir d'en étudier les solutions générales.

La seconde équation ne fut résolue que partiellement par son auteur et par les Bernoulli ( Nicolas Nicolas 1er et Daniel tout particulièrement). Son fils, Vicenzo Riccati, en développa une méthode de résolution par tractoire. Goldbach s'y attela aussi. Puis, en 1841, Liouville prouva qu'en dehors du cas

h est un entier naturel,

l'équation n'est pas résoluble par quadratures.

Les équations de Riccati se généralisent ensuite à toute équation de la forme

.

Pour certaines conditions sur , , , l'équation est résoluble par quadrature. Grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz, on prouve que, si , et sont des fonctions continues, alors il existe des solutions à l'équation de Riccati. Enfin on démontre que, si l'on en connaît une solution particulière, une équation de Riccati se ramène par changement de variable à une équation de Bernoulli.

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