Égalité de Parseval

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L'égalité de Parseval dite parfois théorème de Parseval est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. On la doit au mathématicien français Marc-Antoine Parseval des Chênes ( 1755- 1836).

Elle est également appelée identité de Rayleigh du nom du physicien John William Strutt Rayleigh, prix Nobel de physique 1904.

Cette formule peut être interprétée comme une généralisation du théorème de Pythagore pour les séries dans les espaces de Hilbert.

Dans de nombreuses applications physiques (courant électrique par exemple), cette formule peut s'interpréter comme suit : l' énergie totale s'obtient en sommant les contributions des différents harmoniques.

L'énergie totale d'un signal ne dépend pas de la représentation choisie : fréquentielle ou temporelle.

Inégalité de Bessel

Article détaillé : Inégalité de Bessel.

Si (ei) avec i élément d'un ensemble I est une famille orthonormée, alors pour tout h dans H un espace préhilbertien, on note (par convention, le produit scalaire est linéaire à gauche, antilinéaire à droite). L'inégalité de Bessel affirme la convergence absolue de la série suivante et la majoration :

Elle indique aussi que l'ensemble des termes non nuls est au plus dénombrable. Si h est dans l' adhérence de l'espace vectoriel engendré par la famille (ei), alors la majoration est une égalité, nommée « égalité de Parseval ». Ainsi, si la famille est une base de Hilbert, l'égalité est toujours vérifiée.

Elle existe aussi dans le cas où le préhilbertien est de dimension finie, elle s'applique par exemple en analyse harmonique sur un groupe abélien fini.