Échantillonnage (signal)

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L'échantillonnage consiste à prélever les valeurs d'un signal à intervalles définis, généralement réguliers. Il produit une suite de valeurs discrètes [1].

Généralités

L'application la plus courante de l'échantillonnage est aujourd'hui la numérisation d'un signal variant dans le temps, mais son principe est ancien.

Depuis plusieurs siècles, on surveille les mouvements lents en inscrivant, périodiquement, les valeurs relevées dans un registre : ainsi des hauteurs d'eau des marées ou des rivières, de la quantité de pluie [2]. L'établissement des lois de la physique depuis le e siècle repose en partie sur des échantillonnages de phénomènes physiques périodiques, comme en astronomie, ou non périodiques, comme lorsqu'on décrit les trajectoires par une série de points. Les questions mathématiques liées à l'échantillonnage et à sa validité ont une longue histoire ; elles se rattachent aux études sur l' interpolation [3].

Avec la possibilité de transformer une grandeur physique en signal analogique, à la fin du e siècle, les sciences et les techniques échappent à la nécessité de l'échantillonnage, à condition de ne s'intéresser qu'à des grandeurs à une seule dimension, qui seules peuvent trouver un équivalent analogique.

La technique de l'échantillonnage reste indispensable pour la reproduction des trois dimensions de l'image animée : le cinématographe, inventé dans les dernières années du e siècle, prélève des échantillons photographiques d'une scène à une cadence au début mal déterminée, mais dont on sait qu'elle doit être supérieure à dix images par seconde.

En 1908, le bélinographe applique la technique de l'échantillonnage avec un signal électrique pour l'analyse et la transmission d'une image par téléphone. Dans ce cas, une longueur, celle du document photographique, est divisée en intervalles réguliers, celui des lignes. On mesure et on transmet une suite de signaux successifs décrivant, de façon analogique, les luminosités rencontrées sur chaque ligne. Le même principe servira pour la télévision une trentaine d'années plus tard.

Les télécommunications ont développé la première application de l'échantillonnage dans le domaine temporel. Avant que la transmission numérique ne se généralise pour la téléphonie, on procédait au multiplexage de valeurs analogiques de signaux échantillonnés, comme on l'avait fait auparavant pour les signaux télégraphiques ; c'est cette application, pour une grande industrie, qui a donné lieu aux travaux théoriques sur le sujet de Claude Shannon [3]. Ces travaux ne portent pas spécifiquement sur l'échantillonnage, mais plutôt sur la quantité d'information et son encodage numérique. Le traitement numérique du signal va changer radicalement le traitement du signal [4].

Figure 1 : Échantillonnage et sous-échantillonnage de la fonction sinus

Le traitement numérique du signal par ordinateur exige que le signal soit converti en une suite de nombres ( numérisation). Cette conversion se décompose, sur le plan théorique, en trois opérations :

  1. l'échantillonnage prélève, le plus souvent à intervalles réguliers, la valeur du signal ;
  2. la quantification transforme une valeur quelconque en une valeur prise dans une liste finie de valeurs valides pour le système ;
  3. le codage fait correspondre à chaque valeur valide pour le système un code numérique.

La théorie de l'échantillonnage s'applique à tout système capturant des valeurs à intervalles définis, y compris quand il y a codage sans quantification, comme dans le cas du relevé des valeurs par une personne, quand il n'y a ni quantification ni codage et que les valeurs échantillonnées restent analogiques, que les grandeurs aient une seule dimension ou plusieurs. La plupart du temps, l'intervalle entre chaque échantillon est constant. Pour déterminer la méthode d'échantillonnage, il faut avoir une connaissance préalable du signal. Il faut au moins déterminer une fréquence maximale susceptible d'y être présente.

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